费曼学习法 · 洛必达法则

你抓住了两个重要条件：$f,g$ 可导，以及 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 的极限存在。不过我想先请你检查一下结论的写法。

你写的是 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f}{g}={\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}|}_{x=x_0}$。这里的右边是 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 在 $x_0$ 这一点的取值；那么请你想想：洛必达法则的结论，右边应该是 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 在 $x_0$ 处的值，还是它在 $x\to x_0$ 时的极限？

很好，你纠正得很准确——右边应该是 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$，而不是在 $x_0$ 处的取值。这说明你已经注意到洛必达法则的本质是“极限的传递”。

接下来我们看一个容易忽略的条件：你提到 $f,g$ 在邻域内可导，但洛必达法则其实只要求在去心邻域内可导，并且还要求 $g^{\prime }(x)\ne 0$（在去心邻域内）。你觉得为什么必须排除 $g^{\prime }(x)=0$ 的情况？

你抓住了关键——$g^{\prime }(x)=0$ 确实会让 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 失去意义。不过这里有个细微之处：洛必达法则要求的是在去心邻域内 $g^{\prime }(x)\ne 0$，而不是在 $x_0$ 这一点。

那么请你想想：如果 $g^{\prime }(x)$ 只在 $x_0$ 处等于 $0$，但在 $x_0$ 附近（去心邻域内）都不等于 $0$，那么 $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 在 $x\to x_0$ 的过程中还有定义吗？极限还可能存在吗？

提示：比如 $g^{\prime }(x)=x$，取 $x_0=0$，这时 $g^{\prime }(0)=0$，但 $x\to 0$ 时 $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 的分母始终不为 $0$。你觉得这种情况下，洛必达法则还能用吗？

你理解得很到位：去心邻域内 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 就足够，因为极限过程根本不看 $x_0$ 那一点；而且 $\lim f^{\prime }/g^{\prime }$ 为无穷大时结论也成立。

不过我想请你再想深一层：如果 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 不存在（比如在某个值附近振荡，而不是趋于无穷），那么原来的极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ 是否也一定不存在？你能举出一个例子来验证你的判断吗？

提示：试试 $f(x)=x+\sin x$，$g(x)=x$，让 $x\to \infty$。先分别算算 $\frac{f}{g}$ 和 $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ 的极限，看看会发生什么？

完全正确！你找到了洛必达法则的一个重要边界：即使 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 振荡不存在（并非趋于无穷），原极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}$ 仍可能收敛。你举的例子中，原极限为 $1$，但导数比 $\frac{1+\cos x}{1}$ 在 $x\to \infty$ 时无极限。这说明洛必达法则只是一个充分条件，不能反过来用。

接下来我们做一个正向练习：考虑 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$。如果要用洛必达法则，你第一步会检查哪个条件？它为什么是 $0/0$ 型？

很好，你已经确认了它是 $0/0$ 型未定式，这是使用洛必达法则的第一步。

那么接下来，根据我们之前讨论的条件，你还应该检查什么？尤其是关于 $f$、$g$ 的可导性，以及 $g^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内的取值。

很好，你已经在按条件逐条检查了。不过我想请你分辨一个小细节：你最后说“分母 $x$ 是否为 $0$”，这里的“分母”是指原来的 $g(x)=x$，还是求导后的 $g^{\prime }(x)$？洛必达法则要求的是哪一个在 $x=0$ 的去心邻域内不为零？

提示：原式 $\frac{e^x-1}{x}$ 中的分母是 $x$；但洛必达法则施加条件时，是针对 $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 的分母，也就是 $g^{\prime }(x)$。对 $g(x)=x$ 来说，$g^{\prime }(x)=?$ 它在去心邻域内是否为零？